2027학년도 6월 평가원 수학 15번

Problem DNA

문제의 핵심 구조

문항 원문 전체를 복제하지 않고, 풀이에 필요한 수학적 조건을 교육용으로 재구성했습니다.

과목

공통 · 수학Ⅱ · 정적분과 함수

핵심 개념

절댓값 정적분, 함수의 부호, 중근·단순근, 삼차함수 추론

난도 포인트

적분식을 직접 계산하기 전에 ‘부호 변화 조건’으로 해석해야 함

Reframed Conditions

수학적 조건으로 재구성

상수항이 0인 삼차함수 f에 대해 다음 두 조건이 주어집니다.

(가) 길이 3인 구간 [p,p+3]에서 f가 양·음 값을 모두 갖는 p의 범위가 정확히 0<p<3. ∫[p,p+3] |f(x)| dx ≠ | ∫[p,p+3] f(x) dx | ⇔ 0 < p < 3 (나) [0,3]에서 f(x)+q가 양·음 값을 모두 갖는 q의 범위가 정확히 0<q<1. ∫[0,3] |f(x)+q| dx ≠ | ∫[0,3] (f(x)+q) dx | ⇔ 0 < q < 1

연속함수 h에 대해 ∫|h| = |∫h| 는 구간 전체에서 h의 부호가 한쪽으로 유지될 때 성립합니다. 따라서 ‘≠’는 구간 안에서 실제 부호 변화가 발생한다는 뜻으로 읽는 것이 핵심입니다.

Solution

4단계 풀이

적분 계산보다 근의 구조를 먼저 확정하면 풀이가 크게 짧아집니다.

x=0은 부호를 바꾸는 근이 될 수 없다

상수항이 0이므로 f(0)=0. 만약 0이 단순근이라면 길이 3인 구간이 0을 가로지를 때, 즉 p∈(-3,0)에서도 부호 변화가 발생합니다. 이는 (가)의 범위 0<p<3과 모순입니다. 따라서 x=0은 짝수 중복도의 근이어야 합니다.

삼차함수 + f(0)=0 ⇒ x=0은 중근

나머지 부호 변화 근은 x=3

삼차함수이므로 남은 한 근은 단순근 r입니다. 길이 3인 구간 [p,p+3]이 r을 내부에 포함할 때만 부호 변화가 생기므로 p의 범위는 (r-3,r)입니다. 이것이 (0,3)과 같아야 합니다.

(r-3, r) = (0, 3) ⇒ r = 3
∴ f(x) = a x²(x-3)

(나)로 계수 a 결정

[0,3]에서 x²(x-3)≤0입니다. q>0일 때 f(x)+q가 양·음을 모두 갖는 범위가 0<q<1이 되려면, f의 최솟값이 정확히 -1이어야 합니다.

g(x)=x²(x-3)=x³-3x²
g'(x)=3x(x-2) ⇒ 최소점 x=2
g(2)=-4 ⇒ min f(x)=-4a=-1 ⇒ a=1/4

f(6) 계산

확정된 함수에 x=6을 대입합니다.

f(x)=(1/4)x²(x-3)
f(6)=(1/4)·36·3=27

Interactive Check

조건을 직접 움직여 확인

슬라이더를 움직이면 왜 p의 범위가 (0,3), q의 범위가 (0,1)인지 시각적으로 확인할 수 있습니다.

조건 (가): 구간 [p,p+3]

세로선 x=3이 구간 내부에 있을 때만 실제 부호 변화가 발생합니다.

p=1.50

조건 (나): f(x)+q

f의 최솟값이 -1이므로 0<q<1에서만 [0,3] 안에서 위·아래 부호가 함께 나타납니다.

q=0.50

Conclusion

정답과 시험 전략

이 문항은 계산력이 아니라 조건 해석 순서가 승부를 가릅니다.

정답 ④ · f(x)=(1/4)x²(x-3)

실전 체크

① ∫|f|와 |∫f|의 차이를 부호 변화로 번역
② p-구간으로 단순근 위치 결정
③ 상수항 0 조건으로 중근 판정
④ q-구간의 끝값으로 함수의 최솟값 확정

Source

출처 및 검증

2026년 6월 4일 시행된 2027학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 공통 15번을 기준으로 검증했습니다.

한국교육과정평가원 공식 문제·정답 페이지

2027학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제 및 정답 ↗